Trigonometric Functions Short Questions (Question 5 & 6)


Question 5:
Find all the angles between 0° and 360° which satisfy the following equations:
(a) 2 sin ( 2x – 50o) = –1 
(b) 15 sin2 x = sin x + 4 sin 30o
(c) 7 sin x cos x = 1  

Solution:
(a)
2 sin ( 2x – 50o) = –1 
sin ( 2x – 50o) = – ½  
basic angle ( 2x – 50o) = –30o   ← (sin is negative at third and fourth quadrants)

2x – 50o = –30o, 180o + 30o, 360o – 30o, 360o + 180o + 30o 
← (Take the angles in the range of  0o ≤ x ≤ 720o, which in 2 complete revolutions)  

2x – 50o = –30o, 210o, 330o, 570o 
2x = 20o, 260o, 380o, 620o 
x = 10o, 130o , 190o, 310o

(b)
15 sin2 x = sin x + 4 sin 30o
15 sin2 x = sin x + 4 (½)  ← (sin 30o = ½)
15 sin2 x = sin x + 2
15 sin2 x – sin x – 2 = 0
(5 sin x – 2)(3 sin x + 1) = 0
sin x 2 5       or     sin x = –

When sin x = 2 5           
Basic angle x = 23º 35’
x = 23º 35’, 180º – 23º 35’
x = 23º 35’, 156º 25’

When sin x = –    ← (sin is negative at third and fourth quadrants)     
Basic angle x = 19º 28’
x = 180º + 19º 28’, 360º – 19º 28’
x = 199º 28’, 340º 32’

Hence x = 23º 35’, 156º 25’, 199º 28’, 340º 32’.

(c)
7 sin x cos x = 1  
sin x cos x 1 7
2 sin x cos x 2 7    ←  ( × 2 for both sides)
sin 2x = 2 7
sin 2x = 0.2857
Basic angle x = 16º 36’
2x = 16º 36’, 180º – 16º 36’, 360º + 16º 36’, 360º + 180º – 16º 36’
2x = 16º 36’, 163º 24’, 376º 36’, 523º 24’
x = 8º 18’, 81º 42’, 188º 18’, 261º 42’

Hence x = 8º 18’, 81º 42’, 188º 18’, 261º 42’.


Question 6:
Solve the equation 4 sin (x – π) cos (x – π) = 1 for 0ox 360o.

Solution:
4 sin (x – π) cos (x – π) = 1
2 [2 sin (x – π) cos (x – π)] = 1
2 sin (x – π) cos (x – π) = ½
sin 2(x – π) = ½  ← (sin 2x = 2 sinx cosx)
sin 2(x – 180o) = ½  ← (π rad = 180o)
sin (2x – 360o) = ½
sin 2x cos 360o – cos 2x sin 360o  = ½
sin 2x (1) – cos 2x (0)  = ½  ← (cos 360o = 1, sin 360o = 0)
sin 2x = ½
basic angle = 30o  ← (special angle, sin 30o = ½)
2x = 30o, 150o, 390o, 510o
x = 15o, 75o, 195o, 255o